רציונליות ואי-רציונליות

רציונליות ואי-רציונליות

רציונליות ואי-רציונליות הן שתי דרכים משלימות בהן, באמצעותן, אנו מתייחסים אל העולם.
הרציונליות מתייחסת למה שכבר מוכר, למה שיש – לדברים המצויים בעולם הנראה, המוחשי, הנחווה .. ומבקשת לתאר, להבין, להסביר, את מה שאנחנו כבר מכירים.
הרציונליות משתמשת בדפוסים, צורות, תבניות; בכימות ומדידות; בשיום, הגדרות, תיחום; הבדלה, צמצום ..
הרציונליות מנתחת, מצמצמת, מפרקת ומפרידה את הדברים הנראים לה למרכיבים בסיסיים, מצטמצמת לכל אחד מהם ומבדילה אותם זה מזה, ואח"כ מבקשת לחבר אותם, לשבץ אותם, לידי מערכת מושכלת ומובנת תוך שימוש בדפוסים ותבניות מוכרים.
הרציונליות מבקשת לקשר בין תובנות ומושגים מוכרים, להציג אותם בתוך הקשרים מוכרים, ליצור קשרים סיבתיים.
הרציונליות משתמשת בניגודים – 'יש' ו'אין', 'קיים' ו'לא-קיים', 'נכון' ו'לא-נכון', אמת ושקר, שחור ולבן, 'אפס' ו'אחד', 'אחד' ו'אינסוף', וכיו"ב. זו רמת 'או-או' – הרמה הראשונה של עקרון השניים. אחר-כך היא מבקשת לחבר ולקשר ביניהם בהקשרים מוכרים, ברמת 'גם וגם'.
הרציונליות מבקשת לפעול רק בתחום המוכר. שם היא מוצאת את מקומה, "מרגישה בבית". הרציונליות יודעת לעבוד ולפעול רק עם מושגים ותובנות מוכרים. גם כאשר בתהליך של למידה האדם פורץ מתוך תחום המוכר אל תחום הבלתי-מוכר, ומספח אל תחום המוכר פיסות מתוך הבלתי-מוכר, הרציונליות מתייחסת לפיסות אלה כאשר הן כבר שייכות לתחום המוכר. הרציונליות אינה מוצאת את מקומה, אינה "מוצאת עת עצמה", היא "הולכת לאיבוד", בבלתי-מוכר.
האי-רציונליות, בהפוך לכך, מרגישה חנוקה, כלואה, בתחום המוכר. עבור האי-רציונליות תחום המוכר יכול לשמש לכל היותר כבסיס, מעין קרש קפיצה, ליציאה ושוטטות בבלתי-מוכר. שם, כאשר הנפש מתרחבת ומתפשטת אל מרחבי הבלתי-מוכר, זו הממלכה של האי-רציונליות.
אחד המאפיינים של הרציונליות הוא סיבתיות: אם 'א' אז 'ב'. אולם, בכל שרשרת סיבתית כזו קיים 'א' שלא ניתן להגיע אליו בצורה רציונלית, לא ניתן להגדיר אותו או להסמיך אותו על מושגים ראשוניים, קמאים, יותר.
לכולנו יש תפישות יסוד, מעין אקסיומות (עקרונות יסוד, מושגי יסוד, הנחות יסוד), שעליהן ומתוכן אנו בונים את תמונת העולם שלנו. הבסיס של תפישות יסוד אלה הוא מעבר לכל הגדרה שכלית, רציונלית.
לוגיקה ורציונליות הן כלים. אנו מבקשים להשתמש בהן כדי ליצור לנו תמונת עולם שאיתה אנו מרגישים בנוח. במידה מסוימת אנו מבקשים להישען עליהן, להיסמך עליהן, כדי לתת מענה לתחושת האי-וודאות.
אנו משתמשים בהסברים לוגיים-רציונליים, דטרמיניסטים, אך הסברים אלה נובעים תמיד, בסופו של דבר, מתוך אותן אקסיומות, אם-כי בהרבה מקרים בצורה בלתי-מודעת.
הסברים לוגיים-רציונליים, דטרמיניסטים, מתייחסים באופן בינארי, דיכוטומי, באפשרויות של 'נכון' – אם יש תאימות לאקסיומות שלנו, או 'לא-נכון' – אם יש סתירה לאקסיומות; כביטוי של העיקרון האריסטוטלי 'השלישי הנמנע'.
אולם בהרבה מקרים, אם לא תמיד, קיימת אפשרות שלישית, לא-דטרמיניסטית, שהאקסיומות לא יכולות להכריע, ולכן זה 'חלון' של אי-וודאות – 'גם וגם'. זו גם המשמעות המוצעת על-ידי משפט גדל.
אפשרות 'גם-וגם' – מצד אחד זו תוצאה תיאורטית-לוגית, המשקפת את מגבלות הלוגיקה; מצד שני היא מופיעה כתוצאה אמפירית – כמו למשל 'גל-חלקיק' בפיסיקה. אפשרות זו – כמו ההבחנה בין הופעה גלית להופעה חלקיקית – היא מתקיימת בתודעה האנושית.
אפשרויות של 'נכון' / 'לא-נכון' שייכות לתחום הוודאות. אפשרות 'גם-וגם' שייכת לתחום אי-הוודאות.
רציונלי ואירציונלי במתמטיקה – כפל משמעויות
המושגים 'רציונלי' ו'אי-רציונלי' משתמשים בהם במתמטיקה במשמעות מאוד מסוימת; עיון במשמעות זו יאפשר לנו להרחיב אותה לשימושים הכלליים במושגים אלה.
המספרים הבסיסיים, אלה אותם אנו תופשים באופן טבעי, הינם מספרים שלמים (למשל 2, 17, 235– וכד'). בהינתן זוג מספרים שלמים, קל לנו גם לתפוש את מושג היחס, או המנה שלהם. מספר כזה שניתן ליצגו כשבר – בעזרת חלוקה של שני מספרים שלמים (למשל ¼, ½, ¾) – נקרא מספר רציונלי (מהמילה הלטינית ratio – יחס). בסימון כללי ניתן לרשום כל מספר רציונלי כמנה או כיחס m/n כאשר n ו- m הם שני מספרים שלמים. המספרים הרציונלים כוללים לכן את כל המספרים השלמים ואת כל השברים הנוצרים מהם.
מספרים אלה נקראים מספרים רציונלים גם משום שהם מוגדרים ע"י מספר סופי של ספרות, ואת זה השכל – ה'רציו' – יכול להכיל: אם מבקשים להציג אותם בצורה עשרונית מתקבל מספר בעל אורך סופי או מספר בעל אורך אינסופי אך עם תבנית קבועה החוזרת על עצמה בצורה מחזורית, לדוגמא:

2.5 = ½2

…0.428571428571428571 = 3/7

גם כשהם מוצגים כשבר עשרוני אינסופי, בחלק שאחרי הנקודה יש סדרת מספרים סופית שחוזרת על עצמה כך שכדי להכיל מספר כזה מספיק לדעת מספר סופי של ספרות.
מספרים שאינם ניתנים להצגה כמנה או כיחס בין שני מספרים שלמים כלשהם, דהיינו, כמספר רציונלי, נקראים אי-רציונלים. תכונה זו קיימת לכל השורשים של מספרים שאינם ריבועים של מספרים שלמים (למשל 2√ – היחס בין אלכסון הריבוע לצלעו), ועוד הרבה (למעשה אינסוף) מספרים אחרים (כמו למשל π, היחס בין היקף המעגל וקוטרו). מספרים אי-רציונלים מאופיינים בכך שאם מבקשים להציג אותם בצורה עשרונית מתקבל מספר בעל אורך (מספרπ ספרות) אינסופי, בלי תבנית קבועה או סדירות, למשל:

…1.4142135623730950488016887242097 = 2√

המספרים האי-רציונלים דורשים לכן מספר אינסופי של ספרות כדי להיות מוגדרים, ואת זה השכל אינו יכול להכיל, כי אינו יכול להכיל כמות אינסופית של מידע.
הבדל זה מביא אותנו למשמעות הכפולה של המושגים "רציונלי" ו"אי-רציונלי", שכן המילה הלטינית ratio משמעותה אינו רק "יחס" אלא גם "שכל", ולפיכך "רציונלי" הינו הן מה שניתן לתיאור כיחס בין מספרים שלמים והן מה שניתן לתפישה שכלית. כך, למשל, נוהגים לומר על שיקול הגיוני שהוא "רציונלי". מהו כאן הקשר בין "יחס מספרי" לבין "שכל"? הקשר נובע מהעובדה שהשכל שלנו יכול לתפוש רק מספר סופי של אלמנטים; אין באפשרותו לתפוש מספר אינסופי של מרכיבים. תפישה שכלית נשענת ונסמכת על המידע המתקבל באמצעות החושים הגופניים, וכשמדובר בתפישה כמותית, זו תמיד באה לידי ביטוי במספרים טבעיים, סופיים. השכל יכול לתפוש מספרים שלמים, כי הוא מבין איך הם בנויים מצירוף של יחידות, ובפרט בצורת הכתיבה העשרונית המאפשרת כתיבה של מספרים שלמים אפילו גדולים מאוד בעזרת מספר קטן יחסי של מרכיבים. השכל יכול לתפוש מנה של מספרים שלמים, כי מדובר בשני מספרים שלמים (אותם השכל כבר תפש, כאמור) בתוספת מרכיב היחס שביניהם. גם כאשר מדובר בכתיבה העשרונית, המנה מובילה לסדרה סופית של ספרות החוזרת על עצמה, כך שהשכל תופש כאן את הסדרה הסופית בתוספת מרכיב המחזוריות. אך לתיאור של מספר אירציונלי נדרשות אינסוף ספרות, ללא כלל הגוזר את האינסוף מתוך סדרה סופית. זה כבר מעבר ליכולת התפישה הישירה של השכל, לכן זה "אי-רציונלי".
כך, למשל, תפישה רציונלית של אורכים היא כאשר הם מבוטאים דרך מכפלות סופיות של אורך יחידה. היעדר היכולת לבטא את אורך אלכסון הריבוע בצורה רציונלית, כיחס בין מספרים שלמים, עפ"י אורך הצלע – תוצאה בסיסית הנובעת ישירות ממשפט פיתגורס – משמעו שאין ביכולתנו לראות קשר רציונלי (תפישתי) בין שני הקטעים, ולכן הקשר ביניהם הוא אירציונלי.
אינסוף ואי-רציונליות במתמטיקה
הפיסקה הקודמת מצביעה על כך שאי-רציונליות במתמטיקה קשורה במושג ה'אינסוף', כמשהו שלא ניתן לתאר אותו באופן רציונלי, סופי.
ביהדות (בקבלה) ובאיסלם מתייחסים אל הבורא, הבריאה, כ'אינסוף', ובכך מבטאים את העובדה שבלתי-אפשרי לאדם לתפוש אותם במלואם, בכוליותם. תודעת האינסוף מציגה תפישה רחבה ביותר האפשרית, תפישה אינסופית, מעבר ליכולת ההשגה השכלית. השכל, הרציו, ההכרה יכולים להכיל מספר סופי של מושאים, אך אינסוף הוא 'משהו' שהוא מעבר ליכולת ההכלה השכלית, הרציונלית, ההכרתית.
אמנם רציונליות היא הדרך בה פונקציית ההכרה – הרציו, השכל – מטפלת במה שמוכר לנו, אך פונקציית ההכרה גם מחפשת דרכים להכיר את מה שאינו מוכר. העדות המוחשית ביותר לכך היא מושג האינסוף במתמטיקה, בה נמצאו דרכים להתייחס לאינסוף גם ללא הכלתו במלואו, וניתן להיעזר ולהקיש מהן גם לגבי ה'אינסוף' במובן הרחב ביותר.
'אינסוף' במתמטיקה משמעותו מושג הגדול מכל מספר שניתן לחשוב עליו, שהרי לכל מספר ניתן להוסיף יחידה וכך להגיע למספר גדול יותר. לכן גם במתמטיקה לא ניתן להגיע ל'אינסוף', להגות אותו, בצורה שכלית, רציונלית.
מספרים אי-רציונלים מוגדרים על-ידי תהליך מתמטי. כך, למשל, 2√ מוגדר כמספר אשר ריבועו ייתן את הערך 2; או הגודל π מוגדר כיחס בין היקף המעגל וקוטרו. לצורך החישוב שלהם פותח במתמטיקה מושג ה'גבול' – כלי שנועד לאפשר לרציו להתמודד באופן עקבי עם גדלים אינסופיים או מזעריים בצורה אינסופית.
באופן גרפי, ניתן לחשוב על קטע כלשהו. לכל קטע יש אורך סופי, אך הוא מכיל אינסוף נקודות. ניתן למתוח את הקטע, כלומר להגדיל את אורכו, כרצוננו, ועדיין יהיה סופי באורכו ומכיל אינסוף נקודות. ניתן גם לצמצם אותו, להקטין את אורכו, ושוב עדיין יהיה סופי (גם אם כה קטן שלא ניתן לראותו בעין בלתי-מזוינת) ומכיל אינסוף נקודות. שתי פעולות אלה – של מתיחה או התפשטות, מצד אחד, וצמצום מצד שני – אלה שני הכוחות המנוגדים הפועלים יחד בצורה משולבת כבסיס לחיים ביקום, כמתואר בקבלה ובהגותו של א.ד. גורדון.
במקביל למשמעות ה'אינסוף' במתמטיקה כמושג הגדול מכל מספר שניתן לחשוב עליו, קיימים במתמטיקה גם גדלים שהם מזעריים בצורה אינסופית, שהרי כל גודל מתמטי חיובי ניתן לחלק אותו ולקבל גדלים קטנים יותר. לכן לא קיים מושג 'המספר הקטן ביותר' הגדול מאפס. מבחינה אלגברית, אם x הוא גודל השואף לאינסוף (בדגש על שואף – הוא תמיד נשאר סופי) אז היפוכו הוא גודל השואף לאפס – יכול להתקרב לאפס כרצוננו – אך כמו x תמיד נשאר סופי. x יכול, למשל, לציין את אורך הקטע בפסקה הקודמת. כך ניתן לומר שכל מספר (סופי, כמובן) ביחס לאינסוף הוא מזערי במידה אינסופית (למעשה, ביחס לשאיפה לאינסוף, כי האינסוף אינו יכול להיות מושג באופן רציונלי). זה בא לידי ביטוי בשאיפה לאפס.
המתמטיקה גם מכירה בקיום דרגות שונות של אינסוף. הדרגה הבסיסית מתייחסת לכמות המספרים הרציונלים – זהו אינסוף המכונה במתמטיקה ℵo – כאשר מעליה יש מבנה היררכי אינסופי של אינסופיים, כל אחד גדול במידה אינסופית מקודמו. בפרט, כמות המספרים האי-רציונלים גדולה באופן אינסופי מכמות המספרים הרציונלים. ניתן לומר שמתמטית האינסוף הוא אינסופי במידה אינסופית.
מושג ה'אינסוף' הוא אמנם יותר גדול ממה שהשכל יכול להכיל, אבל יש דרכים אחרות, מתוך החוויה, המאפשרות נגיעה מסוימת, הבנה מסוימת. אם המתמטיקה שהיא כלי שכלי, רציונלי, מצאה כלים לדון באינסוף ואף מזהה באינסוף שהוא אינסופי במידה אינסופית, אז ודאי שתפישה או השגה חוויתית, לא רציונלית, של ה'אינסוף' רק יכולה להוסיף על-כך.
מתוך האנאלוגיה המתמטית, ניתן לראות שלבקש לתחום ולהעביר קו ברור בין רציונליות ואי-רציונליות זה כמו לבקש להגדיר ולתחום בין מה שסופי ומה שאינסופי – כמובן אין קו תוחם כזה. כל תחום סופי ניתן להגדיל בעוד נתח סופי, אך האינסוף, עם כל נתח שנוסיף לו או נגרע ממנו, נשאר אינסופי (מומחש על-ידי ה'מלון של הילברט'). זה חלק ממהות האינסוף.
היקום הוא אינסופי, הבריאה היא אינסופית, וכל צורת קיום היא מזערית במידה אינסופית יחסית לבריאה, הן מבחינת המקום (שהיא תופסת בחלל הבריאה) והן מבחינת הזמן (שהיא קיימת במהלך הבריאה). האדם הבודד, היחיד, כל אחד בפרטיותו, הוא זעיר במידה אינסופית יחסית לבריאה כולה, יותר זעיר מאשר גרגיר חול יחסית לאוקיינוס כולו; ועדיין, כל אחד הוא יחיד ומיוחד, שנאמר על-כן "כל המציל נפש אחת כאילו הציל עולם מלא".
רציונליות ואי-רציונליות – הכרה וחוויה; לוגיקה ואינטואיציה; 'אחד' ו'אינסוף' – כולם קשורים.
מספרים רציונליים הם מספרים המתקבלים מהמספרים הטבעיים (בעצם, מהמספר 1) ע"י מספר סופי של פעולות מארבע פעולות החשבון היסודיות – חיבור, חיסור, כפל וחילוק.
מספרים אי-רציונליים מתקבלים מהמספרים הטבעיים (בעצם, מהמספר 1) ע"י מספר אינסופי של פעולות מארבע פעולות החשבון היסודיות – חיבור, חיסור, כפל וחילוק.
מסקנה רציונלית היא מסקנה שניתן להגיע אליה, מהנחות יסוד ברורות ומוגדרות, ע"י מספר סופי של צעדי הנמקה. האם מסקנה אי-רציונלית היא מסקנה שניתן להגיע אליה – אם זה היה בכלל אפשרי – מהנחות יסוד ברורות ומוגדרות, רק ע"י מספר אינסופי של צעדי הנמקה?
(פורסם 25.11.2024; עודכן 9.12.2024)